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数学是原本就在那儿，等着被我们发现吗？还是完全由我们一手创造出来的呢？

从公元前 5 世纪希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）时代开始，关于数学到底是被发现的还是被创造的争论就一直没有停歇过。

两种观点

第一种观点认为，无论是数学定律，还是描述和预测现象的方程，它们都是独立于人类认知而存在的。这意味着一个三角形就是一个独立存在的实体，它的内角之和就应该是 180°。数学在人类出现之前便已经存在，而且在人类消亡之后，它必将继续存在。意大利数学家和天文学家伽利略（Galileo）赞同这样的观点，他认为数学是「真实存在」的。

数学是上帝用来书写宇宙的一种文字。

——伽利略

它就在那，只是我们无法看得真切

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早在公元前 4 世纪之初，古希腊哲学家和数学家柏拉图就曾提出如下观点：我们通过感官所感知到的一切只是对理论上的完美的一种不完美复制。他的意思就是说我们看到的每一只狗、每一棵树、每一次善举都只是对那些理想事物，即真正的狗、真正的树、真正的善举的有限的或是稍有偏差的反映。

对于人类来说，我们无法看到被柏拉图称之为「理型」（forms）的真正完美，我们只能看到日常生活中那些反映「真实」的表象。我们周遭的世界总有欠缺，而且是在不断变化的，而「理型」的世界却是完美且永恒的。按照柏拉图的观点，数学本身就栖息在这个完美的「理型」世界之中。

上帝创造了整数，其余所有的数都是人类的杰作。

——利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823—1891）

尽管我们无法直接看到「理型」世界，但我们可以通过推理来不断地接近它。柏拉图将我们所看到的「真实」与投射到洞穴墙壁上的影子联系了起来。如果你正在洞穴之中，面对着洞穴中的一面墙壁（柏拉图假定你已经被绳子绑住而无法转身），这时你能够看到的只有墙上的影子，因此你会认为这些影子就是所谓的「真实」。但实际上，真正的「真实」却是那些站在篝火旁的人，而人影只是一种替代物。

柏拉图认为，数学是永恒真理的一部分。数学定律就在「那里」，等待着我们通过推理去发现它们。它们掌控着宇宙的运行，所以我们对宇宙的认知程度取决于对我们发现了多少数学知识。

如果数学是被创造出来的，那又会怎样

另一种主要的观点认为，数学只是人类在试图理解和描述周围世界时自发创造出来的一种表达形式。这种观点认为，像三角形内角和等于 180°这样的定理实际上只是约定俗成的罢了，就好像人们认为黑色的鞋子要比紫色的鞋子显得更正式一样。它之所以被认为是一种定理是因为所有组成该定理的要素都是人为给出的，比如我们定义了三角形，定义了角的度量（以及度的定义），甚至连 180°也是我们给出的。